Buborékcsarnok háromszögeléssel - Elemi matematikai probléma, sokrétű megoldás

„Buborék alakú, csupa üveg színház építhető-e?" A művészeti tervező és az építészmérnök kérdése nyitott maradt, ezért az acélszerkezetek és üvegtetők kivitelezésével is foglalkozó szegedi cég, az Alukonstrukt Kft. a Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Matematikai Tanszékcsoportjától, a Bolyai Intézettől kért tanácsot. Választ az Analízis Tanszék egyetemi docensétől, Makay Gézától kaptak: „Igen, de…"

- A pécsi konferenciaközpont betonépületei közé álmodott a művész egy üvegbuborékot, amelyben színházat, koncerttermet képzelt el - mutatja a számítógép-monitoron a nem szokványos terv vázlatát a matematikus. - Műszaki probléma, hogy a 9 méter magasságú és 25 méter hosszúságú, acélvázba illesztett üveglapokból álló épületnek el kell bírnia a saját súlyát, föl kell készülni - többek között - hóterhelésre, szélnyomásra, enyhe földmozgásra. Szerencsére ezekkel nekem nem kell foglalkoznom. Matematikusként az a feladatom, hogy ennek a vízcsepphez hasonlatos - nem szabályos gömb alakú - buborék felületnek olyan háromszögekre bontását adjam meg, amely már műszaki szempontból is elfogadható lehet. Vagyis meg kellett mondanom: hány darab és milyen méretű háromszögekből alakítható ki a buborékcsarnok.

Egy fémrudakból összeállított háromszög önmagában merev, nem mozdul - szemben a négyszöggel. Ezért ezt a gömbszerű felületet megalkotása előtt háromszögekre kell bontani. Ám ezek élhossza 120-220 centiméter közötti lehet, a csúcspontoknál a fémmerevítőket tartó gumisablon 5 vagy 6 él befogadására képes - rögzítette a feltételt az Alukonstrukt Kft. Ez utóbbi a matematikus számára azt jelenti, hogy a buborékfelület belsejében a csúcsok ötöd- vagy hatodfokúak lehetnek, vagyis egy csúcsban 5 vagy 6 háromszög találkozhat. Az üvegben kialakuló belső feszültségre és a felület alátámaszthatóságára tekintettel pedig nem lehet nagyon hegyesszögű, illetve tompaszögű egyik háromszög sem. Figyelemmel kell lenni arra is, hogy a buborék külső palástján, a legnagyobb „kitüremkedésnél", a föld fölött sétányt képzeltek el a látogatók számára.

Makay Géza: egy matematikai játék kiindulópontja lehet a gyakorlati alkalmazásnak is.
Fotó: Frank Yvette
- A szabályos gömb-, kúp- vagy hengerpalást tervezésére az építészek rendelkezésére áll szoftver, de erre a szabálytalan alakú buborékra nincs ilyen. Az egyedülálló probléma megoldása matematikai és programozási feladat. Ennek alaplépései: kitalálni az algoritmust, megalkotni a matematikai modellt, megírni a programot. Tavaly 9 hónapon át dolgoztam a buborékcsarnokon. Első ötletem a csúcsok egyenletes szétszórása volt a felületen, illetve ezek - matematikai kifejezéssel - konvex burka. Ám kiderült, hogy ez nem biztosítja a fenti ötöd-hatod fokúságot. Az Euler-féle poliédertétel alapján sikerült bebizonyítanom, hogy egy ilyen felületen legfeljebb 12 darab ötödfokú csúcs lehet. Ez mutatja, hogy ez a legmegszorítóbb feltétel - érzékelteti a felfedezés örömét Makay tanár úr. Végül egy olyan algoritmus vezetett eredményre, amely a felületet háromszögenként állítja össze, és közben betartja a fokszámokra adott feltételt is. Több háromszögelést is megkonstruál az általa készített program, hogy a kivitelező a megfelelő műszaki szempontok alapján választhassa ki a végsőt. Többségében 160-180 centiméter közötti élhosszúságú, összesen 500-800 háromszögből lesz megalkotható a buborékcsarnok. Közben megszületik a mindezt leíró cikk: egyik fejezete lesz az idén novemberben az Európai Unió által támogatott pályázat keretében megjelenő e-könyvnek, amely a matematika gyakorlati alkalmazásával foglalkozik majd.

Csapat és esély, meg a Hamming-kódok

Egy matematikai játék kiindulópontja lehet a gyakorlati alkalmazásnak is. Állítása bizonyításaként Makay Géza az úgynevezett kalapos játékot mutatja be. Ennek alapja, hogy van 3 ember, mindhárman kapnak egy-egy kalapot - feketét vagy fehéret -, ám senki nem látja a saját kalapja színét, de a két szomszédjáét igen. Ahhoz, hogy a játékosok nyerjenek, legalább az egyiküknek tippelnie kell, és mindenkinek, aki tippel, jól kell tippelnie. Kérdés: ha többször ismétlik a játékot, hányszor tudnak nyerni? Nem 50 százalékos az esély, mint első blikkre gondolnánk. Az esetek háromnegyedében nyerhet a 3 játékos, ha csapatként együttműködik, és megfelelő stratégiát követ. A részleteket Makay Géza a Polygon 2003. júniusi számában megjelent 12 oldalas cikkében fejti ki. Arra is kitér, hogy a játék egy gyakorlati probléma megoldásához vezetett az informatikában: ez a Hamming-kód. A kalapos játék és megoldásának meséje segíti a Hamming-kódok megértését is - teszi hozzá Makay Géza, aki az erdélyi pedagógusok továbbképző táborában, a Bolyai Nyári Akadémián is sikert aratott előadásával. Hasonló játékok és feladatok csokra a Kosztolányi József, Makay Géza, Pintér Klára, Pintér Lajos által írt kötet, a Matematikai problémakalauz.